Phßng GD & §T HuyÖn Yªn Kh¸nh
Tr­êng THCS Kh¸nh C­êng
--------------









§Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm

Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i
ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn





Ng­êi thùc hiÖn: TrÞnh V¨n Dòng
§¬n vÞ : Tr­êng THCS Kh¸nh C­êng







Kh¸nh C­êng , th¸ng 5 n¨m 2010

I. PhÇn më ®Çu
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n trung häc c¬ së khèi l­îng kiÕn thøc rÊt phong phó vµ ®a d¹ng, c¸c d¹ng to¸n còng ®­îc ®Ò cËp ®Õn kh«ng Ýt . Trong sè ®ã ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ mét m¶ng kiÕn thøc quan träng . Tuy nhiªn ë ch­¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa ch­a nh¾c ®Õn v× ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cßn h¬i khã ®èi víi c¸c ®èi t­îng häc sinh Trung b×nh,YÕu .
Bëi vËy muèn båi d­ìng vµ ph¸t triÓn ®èi t­îng häc sinh Kh¸, Giái b¶n th©n ng­êi d¹y ph¶i nghiªn cøu tµi liÖu t×m tßi c¸c d¹ng to¸n vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn vµ c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i dÔ hiÓu, dÔ vËn dông. Nh»m bæ trî vµ n©ng cao kÞp thêi cho c¸c em. ë ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn mçi bµi to¸n , víi sè liÖu riªng cña nã, ®ßi hái mét c¸ch gi¶i riªng phï hîp. §iÒu ®ã cã t¸c dông rÌn luyÖn tÝnh t­ duy to¸n häc linh ho¹t vµ s¸ng t¹o cña ng­êi häc. Do ®ã mµ c¸c bµi to¸n t×m nghiÖm nguyªn th­êng cã mÆt trong ®Ò thi c¸c k× thi chän häc sinh giái thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT, thi vµo c¸c tr­êng chuyªn trªn toµn quèc.
Kh«ng nh÷ng thÕ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn lµ mét ®Ò tµi kh¸ lÝ thó cña Sè häc vµ §¹i sè, m·i m·i lµ ®èi t­îng nghiªn cøu cña To¸n häc.
Tõ nh÷ng yÕu tè kh¸ch quan vµ chñ quan ®ã. T«i ®· t×m nghiªn cøu ®Ò tµi “ Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn”. Nh»m t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u hiÖu nhÊt ®Ó cã mét ph­¬ng ¸n ®óng ®¾n gióp häc sinh tiÕp cËn víi ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn mét c¸ch chñ ®éng, cã høng thó trong qu¸ tr×nh häc tËp.
Ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn rÊt phong phó vÒ d¹ng to¸n, nh­ng ë ®Ò tµi nµy t«i chØ nªu mét sè d¹ng to¸n ®iÓn h×nh vµ mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n cho tõng d¹ng to¸n ®ã.
--------------






II. Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
1/ Ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi thµnh tÝch:
VD1: T×m nghiÖm (x;y) nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : xy - 2x + 3y = 16 (1)
H­íng dÉn: (1) <=> xy - 2x + 3y - 6 = 10
<=> (x + 3)(y - 2) = 10
V× x, y nguyªn => (x + 3) vµ (y - 2)
¦(10) =

Ta cã b¶ng gi¸ trÞ cña (x + 3); (y - 2) ; x vµ y nh­ sau:
x+3
1
-1
2
-2
5
-5
10
-10

x
-2
-4
-1
-5
2
-8
7
-13

y-2
10
-10
5
-5
2
-2
1
-1

y
12
-8
7
-3
4
0
3
1

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x, y
Z => ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (x;y)


VD2: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh :

H­íng dÉn: §/k : x
0; y
0
(2) <=> 2x +2y = xy
<=> x(y-2) - 2(y - 2) = 4
<=> (x - 2)(y-2) = 4
V× x, y nguyªn => (x - 2) vµ (y - 2)
¦(4) =

x-2
1
-1
2
-2
4
-4

x
3
1
4
0
6
-2

y-2
4
-4
2
-2
1
-1

y
6
-2
4
0
3
1

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x, y
Z; x
0; y
0
=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (x;y)


2/ Ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi thµnh tæng.
VD3: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh x2 + 2x + y2 + 4y + 5 = 34 (3)
H­íng dÉn: (3) <=> (x+1)2 + (y + 2)2 = 32 + 52
<=>
=> Ta cã b¶ng gi¸ trÞ cña x vµ y nh­ sau
x+1
3
3
-3
-3
5
5
-5
-5

x
2
2
-4
-4
4
4
-6
-6

y+2
5
-5
5
-5
3
-3
3
-3

y
3
-7
3
-7
1
-5
1
-1

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x, y
Z
=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (x;y)


VD4: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh (x2 + y2 )( y2 + 4) = 8 xy2 (4)
( TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh THPT tØnh Ninh b×nh n¨m 2003 - 2004)
H­íng dÉn: (4) <=> 4x2 + x2y2+ 4y2 + y4- 8xy2 = 0
<=> 4x2 - 4xy2+ y4 + x2y2+ 4y2 - 4xy2 = 0
<=> ( 2x - y2)2 + y2 (x - 2)2 = 0


=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (x;y)


VD5: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : x + y + xy + 2 = x2 + y2 (5)
( TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh THPT tØnh Ninh b×nh n¨m 2009 - 2010)
H­íng dÉn: (5) <=> 2x + 2y + 2xy + 4 = 2x2 + 2y2
<=> x2 - 2x + 1 + x2 - 2xy + y2 + y2 - 2y + 1 = 6
<=> ( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( x - y)2 = 12 + 12 + 22
Nªn ta cã c¸c tr­êng hîp sau:
TH1:

TH2:

TH3:

VËy ph­¬ng tr×nh cã 6 nghiÖm nguyªn :(2; 0); (0; 2); (0; -1); (-1; 0); (3; 2); (2; 3).
Gi¶i b»ng c¸ch kh¸c :
(5) <=> x2 - ( y +1)x + y2 - y - 2 = 0 (*) (coi y lµ tham sè cña ph­¬ng tr×nh)
Ph­¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm x khi

0
=> (y + 1)2 - 4(y2 - y - 2)
0
<=> y2 - 2y -3
0
<=> ( y+ 1)( y - 3)
0
Gi¶i ®­îc -1
y
3 v× y nguyªn => y
{-1; 0; 1; 2; 3)
+ NÕu y = -1 => (5) <=> x = 0 => ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm (0; -1)
+ NÕu y = 0 => (5) <=> x2 - x - 2 = 0 => x = -1 hoÆc x = 2
=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm (-1; 0) ; (2; 0)
+ NÕu y = 1 => (5) <=> x2 - 2x - 2 = 0 cã
= 3 kh«ng chÝnh ph­¬ng
=> Khi y = 1 th× ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm (x;y) nguyªn.
+ NÕu y = 2 => (5) <=> x2 - 3x = 0 => x = 0 hoÆc x = 3
=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm (0; 2) ; (3; 2)
+ NÕu y = 3 => (5) <=> x2 - 4x + 4 = 0 => x = 2
=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm (2; 3)
VËy ph­¬ng tr×nh cã 6 nghiÖm: (2; 0); (0; 2); (0; -1); (-1; 0); (3; 2); (2; 3).
Ph­¬ng ph¸p gi¶i trªn cßn ®­îc gäi lµ "ph­¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ" vµ ®©y lµ mét øng dông cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
3/ øng dông Ph­¬ng tr×nh bËc hai, hÖ thøc vi - Ðt ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.
VD6: T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh sau.
x+ y +xy = x2 + y2 (6)
H­íng dÉn : Ta thÊy (6) <=> x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0
Ta cã thÓ xem x lµ Èn cßn y ®ãng vai trß lµ tham sè th× ta cã :
( = (y + 1)2 – 4 (y2 – y) = - 3y2 + 6y + 1 ®Ó ph­¬ng tr×nh (6) cã nghiÖm nguyªn th× ( ≥ 0 vµ ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
<=> - 3y2 + 6y + 1 ≥ 0
<=> 3y2 - 6y - 1 ≤ 0
<=> 3(y – 1)2 ≤ 4
<=> (y – 1 )2 ≤

<=> 0 ≤ (y – 1 )2 ≤ 1
Do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau:
y – 1 = 1 <=> y = 2
y – 1 = -1 <=> y = 0
y – 1 = 0 <=> y = 1
Thay c¸c gi¸ trÞ cña y vµo ph­¬ng tr×nh x2 – (y + 1)x + y2 – y = 0
Ta cã:
Víi y = 2 ta cã x1 = 1 ; x2 = 2
Víi y = 0 ta cã x3 = 0 ; x4 = 1
Víi y = 1 ta cã x5 = 0 ; x6 = 2
VËy ph­¬ng tr×nh (6) cã 6 nghiÖm nguyªn sau:
(0 ; 0) ; (1 ; 0) ; (0 ; 1) ; (2 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; 2)
NhËn xÐt : Ph­¬ng tr×nh trªn cã c¸c Èn luü thõa bËc 2, nªn ta cã thÓ viÕt ph­¬ng tr×nh ®· cho d­íi d¹ng ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã Èn lµ x , cßn y ta xem nh­ lµ tham sè. Tõ ®ã sö dông ®iÒu kiÖn ( ≥ 0 ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm vµ ( ph¶i lµ mét sè chÝnh ph­¬ng ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm nguyªn ®Ó t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
VD7: T×m a
N ®Ó ph­¬ng tr×nh x2 - a2 x + a + 1 = 0 (7) cã nghiÖm nguyªn.
( TrÝch ®Ò thi tuyÓn sinh THPT tØnh Ninh b×nh n¨m 2008 - 2009)
H­íng dÉn: Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh (7) cã nghiÖm nguyªn x1; x2
¸p dông hÖ thøc vi Ðt ta cã :
(v× a lµ sè tù nhiªn)
=> x1; x2 > 1 => x1 - 1
0 vµ x2 - 1
0
=> (x1 - 1)( x2 - 1)
0 => x1x2 - (x1+ x2) + 1
0
=> a + 1 - a2 + 1
0 => a2 - a - 2
0 => (a +1)(a - 2)
0
=> -1
a
2 v× a lµ sè tù nhiªn => a
{0; 1; 2}
+ NÕu a = 0 => (7) <=> x2 + 1 = 0 (Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm)
+ NÕu a = 1 => (7) <=> x2 - x + 2 = 0 (Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm v×
= -7 < 0)
+ NÕu a = 2 => (7) <=> x2 - 4x + 3 = 0 => x1 = 1; x2 = 3 (tho¶ m·n x lµ sè nguyªn)
VËy khi a = 2 th× ph­¬ng tr×nh x2 - a2 x + a + 1 = 0 cã nghiÖm nguyªn.
NhËn xÐt : Khi ph­¬ng tr×nh cã nhiÒu Èn ta cã thÓ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng ®Ó lµm cho ph­¬ng tr×nh cã sè Èn Ýt h¬n ®Ó gi¶i, ph­¬ng ph¸p nãi trªn cßn ®­îc gäi lµ ph­¬ng ph¸p " Khö Èn".
4/ Ph­¬ng ph¸p khö Èn.
VD8: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : x2 + x + 1 = xy - y (8)
H­íng dÉn : Ta thÊy (8) <=> y ( x - 1) = x2 + x + 1
+ NÕu x = 1 th× (8) <=> x2 + x + 1 = 0 ( cã
= -3 < 0 => pt v« nghiÖm)
+ NÕu x
1 th× (8) <=> y =

=> y = x + 2 +

V× x; y nguyªn => x - 1
¦(3) = {3; -3; 1; -1}
Nªn ta cã b¶ng gi¸ trÞ cña x vµ y nh­ sau:
x-1
3
-3
1
-1

x
4
-2
2
0

y =

7
-1
7
-1

=> ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm: (x;y)


NhËn xÐt: Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn ta th­êng sö dông tÝnh chÊt luü thõa cïng bËc cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp ®Ó ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cÇn gi¶i cã Ýt Èn h¬n tõ ®ã cã thÓ dÔ dµng t×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh.
NÕu : xn < yn < (x+a)n => yn = (x + i)n víi 0 < i < a vµ i
Z
NÕu : x(x+1)…(x+ n) < y(y+1).(y+ n) < (x + a)(x+a+1)…(x+ i + n)
=> y(y+1)…(y+ n) = (x + i)(x+i+1)…(x+i+n) víi 0 < i < a vµ i
Z
VD9: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : x3 = y3 + 2y2 + 3y + 1 (9)
H­íng dÉn : Ta thÊy y2
0 ; -5y2 - 2 < 0 víi
x; y
Nªn ta cã : y3 + 2y2 + 3y + 1 - 5y2 - 2 = (y - 1)3 < x3 (1)
Vµ : y3 + 2y2 + 3y + 1 + y2 = ( y + 1)3
x3 (2)
Tõ (1) vµ (2) => (y - 1)3 < x3
( y + 1)3
=> x3 = y3 hoÆc x3 = (y+ 1)3
+ NÕu : x3 = y3 => (9) <=> 2y2 + 3y + 1 = 0
Gi¶i ®­îc : y = -1 ( tho¶ m·n) vµ y = -1/2 ( lo¹i)
Víi y = -1 => x = -1 => ta cã nghiÖm (-1; -1)
+ NÕu : x3 = (y+ 1)3 => (9) <=> y3 + 2y2 + 3y + 1 = y3 + 3y2 + 3y + 1
=> y = 0 => x3 = ( 0 + 1)3 => x = 1 => ta cã nghiÖm (1; 0)
VËy nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh lµ : (-1; -1); (1; 0)
VD10: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : y3 - x3 = 2x +1 (10)
H­íng dÉn : (10) <=> y3 = x3 + 2x + 1 (*)
Ta cã : 6x2 + 10x + 7 = 6(x +
)2 +
> 0 vµ
- ( 3x2 - x + 2) = -3( x - 1/2)2 - 5/3 < 0 (víi mäi gi¸ trÞ cña x)
=> x3 + 2x + 1 - ( 3x2 - x + 2) < x3 + 2x + 1 < x3 + 2x + 1 + 6x2 + 10x + 7
=> ( x- 1)3 < y3 < (x + 2)3
=> y3 = x3 hoÆc y3 = (x+ 1)3
NÕu : y3 = x3 => (*) <=> x3 = x3 + 2x + 1
<=> 0 = 2x + 1 => x = -1/2 (lo¹i)
NÕu : y3 = (x+ 1)3 => (*) <=> (x+1)3 = x3 + 2x + 1
<=> x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 2x + 1
<=> 3x2 + x = 0
<=> x( 3x + 1) = 0
<=>

Víi x = 0 => y = 1 => ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn lµ (0; 1)
VD11: T×m nghiÖm x; y nguyªn cña ph­¬ng tr×nh : x4 + x2- y2+ y +10 = 0 (11)
H­íng dÉn : (11) <=> y(y-1) = x4 + x2 + 10 (*)
Ta cã : x4 + x2 + 10 > x4 + x2 = x2 (x2 + 1) (1)
Vµ : 6x2 + 2 > 0 => x4 + x2 + 10 < x4 + x2 + 10 + 6x2 + 2 = (x2 + 3)(x2 + 4) (2)
Tõ (1) vµ (2) => x2 (x2 + 1) < y(y-1) < (x